A geometria magyar forradalmára: Bolyai János

210 éve, 1802. december 15-én Kolozsváron, székely, magyar és szász felmenőkkel rendelkező családban született Bolyai János, máig legnagyobb matematikusunk.

Ő volt a nemeuklideszi vagy abszolút, közelebbről a hiperbolikus geometria megalkotója. Fő műve, amely ennek az 1829-ben forradalmian új geometriának a leírása, a szintén matematikus apja által szerkesztett ismeretterjesztő könyv függelékeként jelent meg. Innen a címe, az Appendix.

Hogyan lehetne mindennapi nyelvre lefordítani Bolyai matematikai újításainak mibenlétét? A mai napig a gyakorlatban alkalmazott euklideszi geometria is absztrakt elmélet, és Bolyai sem ment tovább a matematika akkori keretein, hogy megállapíthassa, egynél több geometria is lehetséges. Joggal írta 1823. november 3-án keltezett levelében apjának, hogy „semmiből egy újj, más világot teremtettem”.

A legismertebb portré Bolyai Jánosról halálának centernáriumán, 1960-ban kiadott postabélyegen. A portré alapja Adler Mór festménye, amelyről kiderült, hogy valójában nem Bolyait ábrázolja.

A matematika, azon belül a geometria deduktív tudomány, azaz épít olyan alapigazságokra, úgynevezett axiómákra, amelyek nem vezethetők le másokból, hanem kiindulópontként igaznak vesszük. Ilyen axióma például, hogy egy egyenes mindkét irányban végtelenül meghosszabítható, vagy hogy egy ponton át végtelen sok egyenes húzható. Bolyai előtt Eukleidész ún. V. posztulátumát (más számozás szerint XI. axióma) sokan nem fogadták el valódi axiómának, tagadásából akartak ellentmondásra jutni, azaz bizonyítani az igazságát, de ő jött rá, szó sincs ellentmondásról. Az axióma felhasználása nélkül is felépíthető ugyanis egy geometria: az abszolút; az axióma kifejezett tagadásával pedig a hiperbolikus.

Emlékbélyeg Bolyai Jánosról születésének 200. évfordulóján, 2002-ben. Rajta az alábbi levezetés ábrája.

Az V. posztulátum abban áll, hogy ha a síkban adott egy egyenes (a) és egy rajta kívül eső pont (O), azon a ponton keresztül egy és csakis egy párhuzamos húzható ezzel az egyenessel. Bolyai azt írja az Appendixben, hogy ha ezen a ponton keresztül húzunk egy félegyenest, amelyik metszi az egyenest, és a metszési pontot (A) kitoljuk a végtelenbe, akkor a határhelyzetben a félegyenes már nem metszi az egyenest (A'). Ezt az eljárást ismételjük meg a másik irányban (B, B'), és hosszabítsuk meg a félegyeneseket egyenesekké. Ha ezek egybeesnek, akkor kapjuk az euklideszi geometriát. Ha nem (hiperbolikus eset), akkor van két egyenesünk (OA' és OB'), amelyek különböznek egymástól, és egyik sem metszi közös pontja az eredeti egyenessel. És ha már van két ilyen párhuzamos egyenes, akkor köztük még végtelen számú ilyen egyenes helyezkedik el.

Nyilván, aki nem matematikai érdeklődésű, annak kissé nyakatekertnek tűnik ez a gondolkodás. Talán joggal is, mert a nyelv figurativitása bizonytalanná teszi a definíciók alapjait is. Honnan tudjuk, hogy a nyelv képes követni a világ összefüggéseit, vagy egy matematikai rendszerét? Miért nem alapigazság (axióma) az is, hogy a síkban egy ponton át egy egyenessel csak egy párhuzamos húzható? De, euklideszi síkban továbbra is alapigazság, csak a 'hiperbolikus egyenes' néz ki egy kicsit másképp, mint ahogy amott megszoktuk – mármint 'kívülről', 'belülről' pont ugyanolyan. Miért nem nyilvánvaló, hogy a háromszög szögeinek összege 180 fok (a hiperbolikus geometriában ugyanis kevesebb)?

M. C. Escher: Körhatár III, 1959, a hiperbolikus sík egyik legismertebb ábrázolása. Ha valamilyen csoda folytán (síkbeli!) hiperbolikus lényekké változnánk és a képbe kerülnénk, azt találnánk, hogy a halak mind egyforma nagyok, és színek szerint egy-egy egyenes mentén úsznak.

Nyelvünk korlátai világunk korlátai is, de tudunk-e eleget akár a fizikailag látható környezetünkről? Egy földmérő és egy belső építész a gyakorlatban elboldogul az Eukleidész által majd két és félezer éve összeállított absztrakciók, tételek, összefüggések alkalmazásai mentén. Mi van azonban azzal, aki kilép a szűkebb, mindennapi terünkből? Az űrkutatás, amely ma már nem csak a tudományos és fantasztikus irodalom tárgya, olyan viszonyokkal kénytelen számolni, ahol a teret a gravitáció elgörbíti, azaz nemeuklideszivé teszi. Még egy nehezítés: a görbületet nem három, hanem mindjárt négy dimenzióban kell számolni, hogy a megfigyelésekkel összhangban legyünk – például iránytól függetlenül állandó maradjon a fény sebessége. Aztán a naprendszerünkön, galaxisunkon és világegyetemen túl van-e valami? Létezik-e fizikai értelemben a végtelen? A párhuzamosok a végtelenben találkoznak-e (nem, ezt a mondatot feljetsük el)?

Bolyai János munkásságával megteremtette közel egy évszázaddal korábban Einstein gravitációelméletének, az általános relativitáselméletnek a matematikai alapjait is. Az Appendixet lefordították több európai nyelvre, és az utókor elismerte a párhuzamossági axióma tagadásán alapuló geometriát, amelyet Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij is kidolgozott Bolyaival közel egyidőben és tőle függetlenül. A szakirodalom azóta ezt az elméletet Bolyai–Lobacsevszkij-geometriának nevezi.

Bolyai egyes művei befejezetlenek vagy visszhangtalanok maradtak, de újításaival több esetben megelőzte a korát. 1850-ben elkezdte német nyelven egy tértan kidolgozását (Raumlehre, befejezetlen, kéziratban maradt), ami fél évszázaddal később a topológia alapjainak bizonyult. A komplex számokról írt művét, a Responsiót (1837) benyújtotta egy pályázatra, de nem méltányolták, pedig megállapításai jelentősek. Foglalkozott a számelmélet komplex számokat is leíró kiterjesztésével, új bizonyítási eljárást talált a kis Fermat-tételre, és Alberttől, illetve Galois-tól függetlenül és velük egy időben igazolta ő is, hogy a négynél magasabb fokú általános algebrai egyenleteknek nincs megoldóképlete.

Bolyai Farkas Cseh Gusztáv fametszetén.

Honnan is indult ez a ritka invenciózus elme? Édesapja, Bolyai Farkas elismert matematikus és köztiszteletben álló tanár volt, akiről később elnevezték a marosvásárhelyi Református Kollégiumot. Az iskola ma is áll, és Székelyföld, Erdély értelmiségének számos jeles képviselője érettségizett ott. A szigorú apa megfelelő nevelésben részesítette egyetlen fiát. Az elméleti tárgyakon kívül biztosította fejlődését hegedű- és vívásoktatás révén is. Az idősebb Bolyai Göttingában tanult, és szerette volna fiát is oda küldeni, de anyagi lehetőségei nem tették lehetővé. János ezért Bécsben szerzett a katonai akadémián hadmérnöki képesítést. A fiatalembernek nem volt rokonszenves a katonai pálya. Szolgálati évei alatt sokat betegeskedett, művészi érzékenysége ellenére gyakran került konfliktusba másokkal, amelyeket sok esetben párbajjal rendezett le. 1833-ban leszerelt, és gazdálkodással, illetve matematikai és más jellegű művek írásával foglalkozott. 1848-ban egészségi állapota miatt nem vett részt a szabadságharcban, de még abban az évben felajánlotta szolgálatait Kossuth Lajosnak. Azt nem tudni, hogy a levele eljutott-e a kormányzóhoz.

Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely.

Apja így ír róla Gaussnak címzett levelében, amelyben a neves matematikus és egykori diák-kollégája figyelmébe ajánlja fia új geometriáját: „A feleségem… egy fiút hagyott hátra, akinek a bécsi hadmérnöki akadémiára lett távozása idézte elő megzavarodását; fiam most már a műszaki alakulatok főhadnagya, nemsokára kapitány, szép ifjú, virtuóz hegedűs, jó és merész vívó, de túl sokat párbajozik, és általában még nagyon féktelen katona, de ugyanakkor igen érzékeny, – fény a sötétben és sötét a fényben, és szenvedélyes matematikus, párját ritkító értelmi képességekkel... Téged igen-igen tisztel, megérteni és értékelni képes.”

Gauss viszont nem értette, vagy nem akarta érteni az ifjú titánt, és kedvét lelohasztotta válaszában azzal, hogy ezt a geometriát maga is kigondolta, de nem látta időszerűnek a nyilvánossággal megosztani. Később, amikor feldolgozták Gauss hagyatékát, nem találták írásos nyomát annak, hogy ő is rájött volna korábban a nemeuklideszi geometria lényegére.

Az ifjabb Bolyai több olyan képesség birtokában volt, amelyeket előnyösebb körülmények között eredménnyel kamatoztathatott volna. Hagyatéka még részben feldolgozatlan. Matematikai tárgyú művei mellett filozófiai értekezéseket is írt. A másik fő művének tekintett Üdvtan máig kiadatlan. Az ő és apja zeneelméletéről viszont egy teljes kis monográfiát jelentetett meg Benkő András: A Bolyaiak zeneelmélete: Bolyai Farkas zenészeti dolgozata, Bolyai János muzsika-tana. Bukarest: Kriterion Könyvkiadó, 1975. János már egészen fiatalon komponált zenei darabokat, és virtuóz előadóművész volt már (csoda)gyerekkorában. Fennmaradt egyik fellépésének a műsora, ami sokat elmond, ha ezt el tudta játszani az értő közönségének: egy Meyseder-Polonaise és nyolc tétel Paganini Capriccióiból és Szonátáiból. A jótékonysági koncertre 1943. május 4-én Marosvásárhelyen, az Apolló-teremben került sor.

Bolyai János 1852-ben elvált feleségétől, és utolsó éveiben magányosan élt egy bérelt szobában. Hosszas betegeskedések után 1860. január 27-én halt meg. Két gyereket hagyott hátra. Hiteles kép nem maradt fenn róla. A legismertebb portré, amelyet neki tulajdonítanak, Adler Mór festménye valójában nem őt ábrázolja. Az 1960-ban kiadott emlékbélyeg azonban ezt a festményt vette alapul. Készült róla utólag egy valószerűbbnek tekintett kép is: Zsigmond Attila Bolyai fiának fényképe és visszaemlékezések alapján rajzolta meg portréját.

Bolyai János rekonstruált portréja (Zsigmond Attila)

A Bolyaiak emlékezete élénken él az emberekben. Számos iskola, alapítvány, díj, társulat, intézmény őrzi az ő és az apja nevét Erdély keleti végétől a fővároson át Szombathelyig. A hajdani kolozsvári Bolyai-egyetemet mindkét Bolyairól nevezték el, de a mai Babeş–Bolyai Tudományegyetem magyar névadója sokak szerint Bolyai János. Az ő nevét viseli a Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai Műszaki Kara, és az ELTE Bolyai Kollégiuma is, amelynek a célja az 1994-es alapítás óta: „A szakkollégium magas színvonalú szakmai képzést folytató, közösségformáló, autonóm intézmény, melynek célja társadalmi problémákra érzékeny, szakmailag igényes értelmiség kinevelése.” Aligha lehet ennél szebb és nemesebb célja egy magyar tudós emlékét ápoló intézménynek.

Élete és munkássága inspirációként szolgált az írók számára is. Számos mű dolgozta fel életének drámaiságát: a szegénységet, a betegséget, a lobbanékonyságot, a nők iránti rajongását, az apjához fűződő ellentmondásos viszonyát, tudományos tételei meg nem értettségét, Gauss elutasítással felérő dicséretét. Ezek közül Ady Endre Csaba új népe (1911) című verse, Babits Mihály Bolyai (1911) című verse, Székely János Bolyai hagyatéka (1954) című szonettkoszorúja, Németh László A két Bolyai (1961) című drámája, Benkő Samu Bolyai János vallomása (1972) című regényes életrajza és Kocsis István Bolyai János estéje (1972) – újabb változatában A tér – című monodrámája.

Deák-Sárosi László

• Publikálva: 2012.12.15. 07:01 • Címke: tudomány, művelődéstörténet, évforduló